Integrando a nova integral

Oct 13, 2025 by windailys.com 4 views

A Técnica de Substituição em Integrais: Resolvendo ∫ t sec²(t²) tg4(t²) dt

A resolução de integrais é um tópico fundamental da matemática, e existem várias técnicas que podem ser empregadas para resolver essas integrais. Uma dessas técnicas é a substituição, que consiste em substituir uma expressão complexa por uma expressão mais simples, permitindo que a integral seja resolvida de forma mais fácil. Neste artigo, vamos explorar a técnica de substituição e aplicá-la para resolver a integral ∫ t sec²(t²) tg4(t²) dt.

A Técnica de Substituição

A técnica de substituição é uma ferramenta poderosa para resolver integrais. Ela consiste em substituir uma expressão complexa por uma expressão mais simples, permitindo que a integral seja resolvida de forma mais fácil. A ideia é encontrar uma substituição que simplifique a expressão original, tornando-a mais fácil de integrar.

Exemplo: Substituição em ∫ t sec²(t²) tg4(t²) dt

Vamos aplicar a técnica de substituição para resolver a integral ∫ t sec²(t²) tg4(t²) dt. A primeira coisa que notamos é que a expressão sec²(t²) é uma função trigonométrica, e a expressão tg4(t²) também é uma função trigonométrica. Isso nos leva a pensar em substituir t² por uma variável mais simples.

Defina uma nova variável

Definamos uma nova variável, u, igual a t². Isso significa que du/dt = 2t, ou t = √u. Substituindo t² por u, a integral se torna:

∫ sec²(u) tg4(u) √u du

Integrando a nova integral

Agora que temos uma nova integral, podemos integrar a expressão sec²(u) tg4(u) √u. A expressão sec²(u) é uma função trigonométrica, e a expressão tg4(u) também é uma função trigonométrica. Podemos usar a identidade de Pitágoras para simplificar a expressão:

sec²(u) tg4(u) = (1 + tg²(u)) tg4(u)

Simplificando a expressão

Agora que temos a expressão simplificada, podemos integrar a expressão:

∫ (1 + tg²(u)) tg4(u) √u du

Integrando a expressão

Agora que temos a expressão integrada, podemos resolver a integral:

∫ (1 + tg²(u)) tg4(u) √u du = ∫ tg4(u) √u du + ∫ tg6(u) √u du

Resolvendo a integral

Agora que temos a integral resolvida, podemos substituir novamente t² por u:

∫ t sec²(t²) tg4(t²) dt = ∫ tg4(u) √u du + ∫ tg6(u) √u du

Conclusão

A técnica de substituição é uma ferramenta poderosa para resolver integrais. Ao substituir uma expressão complexa por uma expressão mais simples, podemos tornar a integral mais fácil de resolver. Neste artigo, aplicamos a técnica de substituição para resolver a integral ∫ t sec²(t²) tg4(t²) dt. A resposta final é:

∫ t sec²(t²) tg4(t²) dt = ∫ tg4(u) √u du + ∫ tg6(u) √u du

Referências

[1] Apostol, T. M. (1967). Calculus. Waltham, MA: Blaisdell.
[2] Spivak, M. (1965). Calculus. New York: W. A. Benjamin.

Palavras-chave

Técnica de substituição
Integrais
Funções trigonométricas
Identidade de Pitágoras
Resolução de integrais