Calculando o discriminante

Oct 13, 2025 by windailys.com 29 views

Determinar k para que a equação x^2 + 3x + k = 0 admita raízes reais iguais

Introdução

As equações quadráticas são fundamentais na matemática e têm inúmeras aplicações em diversas áreas, como física, engenharia e economia. Uma das propriedades mais importantes das equações quadráticas é a possibilidade de ter raízes reais ou complexas. Neste artigo, vamos explorar como determinar o valor de k para que a equação x^2 + 3x + k = 0 admita raízes reais iguais.

Raízes reais e complexas

As raízes de uma equação quadrática podem ser reais ou complexas. As raízes reais são números que podem ser escritos na forma x = a, onde a é um número real. As raízes complexas, por outro lado, são números que podem ser escritos na forma x = a + bi, onde a e b são números reais e i é a unidade imaginária.

Condicionais para raízes reais iguais

Para que a equação x^2 + 3x + k = 0 admita raízes reais iguais, é necessário que o discriminante seja igual a zero. O discriminante é calculado pela fórmula:

Δ = b^2 - 4ac

onde a, b e c são os coeficientes da equação quadrática. Neste caso, a = 1, b = 3 e c = k.

Calculando o discriminante

Substituindo os valores de a, b e c na fórmula do discriminante, obtemos:

Δ = 3^2 - 4(1)(k) Δ = 9 - 4k

Igualando o discriminante a zero

Para que a equação admita raízes reais iguais, é necessário que o discriminante seja igual a zero. Portanto, podemos estabelecer a seguinte equação:

9 - 4k = 0

Resolvendo a equação

Para resolver a equação, podemos adicionar 4k a ambos os lados e dividir por -4:

-4k = -9 k = 9/4

Conclusão

Portanto, o valor de k para que a equação x^2 + 3x + k = 0 admita raízes reais iguais é k = 9/4. Isso significa que a equação tem uma única raiz real, que é x = -3/2.

Exemplo prático

Vamos considerar um exemplo prático para ilustrar a aplicação da fórmula. Suponha que você esteja trabalhando em um projeto de engenharia e precise determinar o valor de k para que a equação x^2 + 3x + k = 0 admita raízes reais iguais. Você pode usar a fórmula para calcular o valor de k e, em seguida, substituir esse valor na equação para encontrar a raiz real.

Aplicação em outras áreas

A fórmula para determinar o valor de k para que a equação x^2 + 3x + k = 0 admita raízes reais iguais tem aplicações em diversas áreas, como:

Física: para determinar a frequência de oscilação de um sistema harmônico.
Engenharia: para projetar estruturas e sistemas que precisam de raízes reais iguais.
Economia: para modelar e analisar sistemas econômicos que dependem de raízes reais iguais.

Conclusão final

Em resumo, a fórmula para determinar o valor de k para que a equação x^2 + 3x + k = 0 admita raízes reais iguais é uma ferramenta poderosa que pode ser aplicada em diversas áreas. Ao entender como calcular o discriminante e igualá-lo a zero, você pode determinar o valor de k e encontrar a raiz real da equação.
Perguntas e Respostas sobre Determinar k para que a Equação x^2 + 3x + k = 0 Admita Raízes Reais Iguais

Q: O que é o discriminante e por que é importante?

A: O discriminante é uma expressão matemática que é usada para determinar se uma equação quadrática tem raízes reais ou complexas. É importante porque permite que você determine se a equação tem raízes reais iguais ou não.

Q: Como calcular o discriminante?

A: O discriminante é calculado pela fórmula Δ = b^2 - 4ac, onde a, b e c são os coeficientes da equação quadrática. Neste caso, a = 1, b = 3 e c = k.

Q: Qual é o valor do discriminante para que a equação x^2 + 3x + k = 0 admita raízes reais iguais?

A: O valor do discriminante para que a equação x^2 + 3x + k = 0 admita raízes reais iguais é 0. Isso significa que a equação tem uma única raiz real.

Q: Como determinar o valor de k para que a equação x^2 + 3x + k = 0 admita raízes reais iguais?

A: Para determinar o valor de k, você pode usar a fórmula k = 9/4. Isso significa que a equação tem uma única raiz real, que é x = -3/2.

Q: Qual é a importância de determinar o valor de k para que a equação x^2 + 3x + k = 0 admita raízes reais iguais?

A: A importância de determinar o valor de k é que permite que você saiba se a equação tem raízes reais iguais ou não. Isso é importante em diversas áreas, como física, engenharia e economia.

Q: Como aplicar a fórmula para determinar o valor de k em outras áreas?

A: A fórmula pode ser aplicada em diversas áreas, como física, engenharia e economia. Por exemplo, em física, a fórmula pode ser usada para determinar a frequência de oscilação de um sistema harmônico. Em engenharia, a fórmula pode ser usada para projetar estruturas e sistemas que precisam de raízes reais iguais.

Q: Qual é a diferença entre raízes reais e complexas?

A: As raízes reais são números que podem ser escritos na forma x = a, onde a é um número real. As raízes complexas, por outro lado, são números que podem ser escritos na forma x = a + bi, onde a e b são números reais e i é a unidade imaginária.

Q: Como determinar se uma equação quadrática tem raízes reais ou complexas?

A: Para determinar se uma equação quadrática tem raízes reais ou complexas, você pode usar o discriminante. Se o discriminante for positivo, a equação tem raízes reais. Se o discriminante for negativo, a equação tem raízes complexas.

Q: Qual é a importância de entender a fórmula para determinar o valor de k?

A: A importância de entender a fórmula é que permite que você saiba como determinar o valor de k para que a equação x^2 + 3x + k = 0 admita raízes reais iguais. Isso é importante em diversas áreas, como física, engenharia e economia.